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24 de noviembre de 2014 | 16:00
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Temario

Tema I.- Concepto y diversas definiciones de modelo. Introducción a la Teoría de Sistemas. El proceso de modelización. Matemáticas que intervienen. Ejemplos y ejercicios.

Tema II.- Ecuaciones diferenciales ordinarias: Teoría geométrica, conceptos de solución y de problema. Propiedades de la ecuación y de las soluciones. Teoremas fundamentales.

Tema III.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Concepto de Matriz fundamental. Cálculos con matrices: El caso exp(At). Variación de las constantes y aplicaciones.

Tema IV.- Análisis en el espacio de fases de los sistemas lineales. Puntos singulares. Estudio exhaustivo del caso de dos ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Idea de estabilidad del origen. El diagrama Traza-Determinante.

Tema V.- Sistemas no lineales. Puntos singulares y linealización en torno a ellos. Clasificación lineal de los puntos singulares. Estabilidad. Noticia del Teorema de Hartman-Grobman.

Tema VI.- Construcción de modelos I. Ejemplo: El quimiostato.

Tema VII.- Construcción de modelos II: Ecuaciones adimensionales. Sus ventajas y técnicas de adimensionalización.

Tema VIII.- Modelos de Dinámica de Poblaciones. Sistemas de Lotka-Volterra y variaciones sobre ellos: Diferentes conceptos de competencia e interpretación de los resultados de los modelos.

Tema IX.- Oscilaciones y modelos. Ciclos límite en sistemas no lineales. Criterio de Bendixson. Teorema de Poincaré-Bendixson y su interpretación topológica.

Tema X.- Concepto de bifurcación en el comportamiento de un sistema dependiente de parámetros. Diferentes tipos de bifurcaciones y ejemplos. Bifurcación de Hopf y su interpretación. Aplicaciones ecológicas.

Tema XI.- Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Diferentes conceptos de solución. Condiciones iniciales y de contorno. Ejemplos y aplicaciones.

Tema XII.- Generalidades sobre la ecuación de difusión. Obtención a partir de la ley de Fick y dimensiones dl coeficiente de difusión. Interpretaciones posibles.

Tema XIII.- Obtención de la solución fundamental de la ecuación de difusión mediante el método de similaridad. Propiedades de la delta de Dirac. Solución del problema de valores iniciales. El problema no homogéneo: Soluciones a partir de la ecuación fundamental.

Tema XIV.- Método de separación de variables para la ecuación de difusión en dimensión 1 y problemas de valores propios asociados a los diferentes problemas: Concepto de Operador Diferencial. Series de Fourier que aparecen. Problemas de convergencia. Diversos problemas que se relacionan con el fundamental.

Tema XV.- Análisis de los valores propios de la Laplaciana en un rectángulo con diferentes tipos de condiciones de contorno. Interpretaciones y aplicaciones.

Tema XVI.- Ecuaciones obtenidas a partir de la ecuación de difusión: Advección-difusión y reacción-difusión. Comentarios, ejemplos y aplicaciones. Adimensionalización de estas ecuaciones.

Tema XVII.- Una ecuación de reacción-difusión sencilla: La ecuación de Fisher. Interpretación y soluciones en forma de ondas viajeras. Trayectorias heteroclínicas en el plano de fases. Análisis de las condiciones iniciales que generan ondas viajeras. Soluciones asintóticas

Tema XVIII.- Tres ejemplos: a) Análisis del crecimiento de microorganismos en una placa de Petri. b) Modelo de McKendrick-Von Förster para poblaciones con estructura de edad. Interpretación e implicaciones. c) Preparación continua de tejidos vivos en el Laboratorio.

Tema XIX.- Una Teoría matemática de la Morfogénesis. Análisis lineal. Importancia del tamaño del dominio en el origen de las pautas espaciales.

Tema XX.- Teoría general para sistemas de reacción-difusión generales. Sistemas activador-inhibidor y de retroalimentación positiva. Casos en dimensión espacial 1 y en dimensión 2.

Tema XXI.- Ejemplos y ejercicios: Comentarios acerca de la pigmentación de los seres vivos, análisis matemático del límite de las 200 millas, dominios circulares y funciones de Bessel, etc.

Tema XXII.- Modelos numéricos para la ecuación de difusión y sus variantes. Esquemas en diferencias finitas. Conceptos de error para un esquema: Convergencia, consistencia y estabilidad. Teorema de Lax-Ritchmyer: 'estable + consistente = convergente'.

Tema XXIII.- Análisis de estabilidad por el método de Von Neumann. El número CFL. Modos físicos y computacionales de los esquemas numéricos

Tema XXIV.- Ecuaciones diferenciales con argumento retardado. Justificación y ejemplos. Métodos de resolución para ecuaciones y para problemas con historia previa dada. Aparición de oscilaciones y su estabilidad. Interpretaciones físicas y ecológicas.

Tema XXV.- Modelos en tiempo discreto. Modelos compartimentales. Modelo poblacional de Leslie y análisis de comportamiento. Modelos no lineales.

Tema XXVI.- Introducción a la dinámica caótica: Estudio de la logística discreta. Reconstrucción de la dinámica a partir del seudoespacio de fases. Dimensión fractal del atractor. Comentarios, ejemplos y aplicaciones.


BIBLIOGRAFIA

A continuación se da una serie de lecturas recomendadas: (los marcados con * se hallan en las Bibliotecas de la ULPGC)
 
    Aracil, J. (1986) Introducción a la teoría de sistemas.Alianza Ed.*

  Beltrami, E. (1987) Mathematics for dynamic modelling. Academic Press*

  Braun M., Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Ed. Iberoamericana*

  Cullen, M. (1986) Linear Models in Biology. Ellis Horwood*

  Evans, L. (1998) Partial differential equations. AMS, Providence, RI.

  Farlow, S. (1982) Partial differential equations for scientists and engineers. Wiley*

  Fernández, C. (1992) Ecuaciones diferenciales I y II. Ed. Pirámide.*

  Fowler, A. (1997) Mathematical models in the applied sciences- Cambridge UP.

  Gleick, J. (1988) Caos. Seix Barral*

  Goodwin, B. (1998) Las manchas del leopardo. Ed. Tusquets.*

  Hadeler, K. (1987) Matemáticas para biólogos. Ed. Reverté.*

  Holland, S. (1990) Applied analysis by the Hilbert space method. Dekker.

  Marchuk, G.(1986) Mathematical models in environmental problems. North-Holland.*

  Murray, J. (1989) Mathematical Biology. Springer.*

  Okubo, A. (1980) Diffusion and Ecological problems: mathematical models. Springer*

  Tijonov, Samarski (1980) Ecuaciones de la física matemática. Mir.

  Von Bertalanffy, L. (1978) Tendencias en la teoría general de los sistemas. Alianza Ed.

 
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